Aprendamos qué son los números complejos y cómo resolver operaciones y funciones con los mismos.
Los números complejos son un conjunto de números que extiende a los números naturales. Son una herramienta de álgebra que se usa comúnmente en las ingenierías, física y matemáticas tanto puras como aplicadas.
Un número entero @@z@@ se representa como @@z = a + bi@@, donde @@a@@ es la parte real y @@b@@ es la parte imaginaria. La @@i@@, a parte de representar el eje de la parte imaginaria, es el número @@i = \sqrt {-1}@@.
También se puede expresar como: @@z = (a, b) = a + bi = \vert z \vert \cdot (cos \THETA + i \cdot sen \) = \vert z \vert_\@@
Operaciones
Suponiendo dos números complejos, @@z@@ y @@w@@ se pueden definir las siguientes operaciones.
Suma
Para la suma, simplemente sumamos las partes reales por un lado y las imaginarias por otro:
$$z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$
Producto
Hacemos la combinación de sus partes y después lo simplificamos, ya que @@i^2 = -1@@:
$$z \cdot w = (a + bi) (c + di)$$ $$=ac + adi + bci + bdi^2$$ $$=(ac - bd) + (ad + bc)i$$
División
Multiplicamos el conjugado @@\bar z = c - di@@ tanto en el numerador como en el denominador:
$${z \over w} = {a + bi \over c + di} = {{(a + bi) (c - di)} \over { (c + di) (c - di) }} = {(ac + bd) + (bc - ad)i \over c^ 2 + d^2}$$
Inverso
De forma similar a la división, obtenemos el inverso:
$${1 \over z} = {1 \over a + bi} = { (a - bi) \over { (a + bi) (a - bi) }} = {(a - bi) \over a^ 2 + b^2}$$
Argumentos
El argumento se define como el ángulo de un número complejo respecto al eje real y se escribe de la siguiente forma, ya que el argumento se repite cada @@2kn\pi@@ veces:
$$Arg ( z ) = { \Omega + 2 k \pi }$$
El argumento principal es aquel que incluye a @@z@@ dentro de @@]\alpha-\pi, \alpha+\pi]@@.