Aprendamos qué son los números complejos y cómo resolver operaciones y funciones con los mismos.
Los números complejos son un conjunto de números que extiende a los números naturales. Son una herramienta de álgebra que se usa comúnmente en las ingenierías, física y matemáticas tanto puras como aplicadas.
Un número complejo \(z\) se representa como \(z = a + bi\), donde \(a\) es la parte real y \(b\) es la parte imaginaria. La \(i\), a parte de representar el eje de la parte imaginaria, es el número \(i = \sqrt {-1}\).
También se puede expresar como: \(z = a + bi =\) \(\vert z \vert \cdot (cos \theta + i \cdot sen \theta) =\) \(\vert z \vert_\theta\), siendo \(\theta\) el ángulo en el plano complejo.
Operaciones
Suponiendo dos números complejos, \(z\) y \(w\) se pueden definir las siguientes operaciones.
Suma
Para la suma, simplemente sumamos las partes reales por un lado y las imaginarias por otro:
\(z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
Producto
Hacemos la combinación de sus partes y después lo simplificamos, ya que \(i^2 = -1\):
\(z \cdot w = (a + bi) (c + di)\)
\(=ac + adi + bci + bdi^2\)
\(=(ac - bd) + (ad + bc)i\)
División
Multiplicamos el conjugado \(\bar z = c - di\) tanto en el numerador como en el denominador:
\({z \over w} = {a + bi \over c + di} = {{(a + bi) (c - di)} \over { (c + di) (c - di) }} = {(ac + bd) + (bc - ad)i \over c^ 2 + d^2}\)
Inverso
De forma similar a la división, obtenemos el inverso:
\({1 \over z} = {1 \over a + bi} = { (a - bi) \over { (a + bi) (a - bi) }} = {(a - bi) \over a^ 2 + b^2}\)
Argumentos
El argumento se define como el ángulo de un número complejo respecto al eje real en el plano complejo y se escribe de la siguiente forma, ya que el argumento se repite cada \(2k\pi\) veces:
\(Arg_\alpha ( z ) = { \Omega + 2 k \pi }\)
El argumento principal es aquel que incluye a \(z\) dentro de \(]\alpha-\pi, \alpha+\pi]\).
Ejemplo: Calcula el argumento principal \(Arg_{\pi/4} (-1)\)
Solución:
\(Arg(-1) = \{\pi + 2 k \pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
\(Arg_{\pi/4} \in \space ]{\pi \over 4} - \pi , {\pi \over 4} + \pi [ \ = \ ] {-3 \pi \over 4}, {5 \pi \over 4} [\)
\(Arg_{\pi/4} (-1) = \pi \rightarrow k = 0\)
Ejemplo: Calcula el argumento principal \(Arg_{\pi} (-1-i)\)
Solución:
\(Arg(-1-i) = \{ {-3 \pi \over 4} + 2 k \pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
\(Arg_{\pi} \in \space ]\pi - \pi , \pi + \pi [ \ = \ ] 0, 2 \pi [\)
\(Arg_{\pi} (-1-i) = {5 \pi \over 4} \rightarrow k = 1\)
Logaritmos
El teorema de Euler aplicado a un número complejo es:
\(e^{i \theta} = cos \theta + i sen \theta\)
Dado un número complejo z y suponiendo otro número complejo w de la forma \(w = a + bi\), decimos que w es un logaritmo de z si cumple: \(e^w = z\rightarrow e ^ {a + bi} = z\).
Como son dos numeros complejos iguales, sus módulos también lo son:
\(| z | = | e ^ {a + bi} | = | e ^ a e ^ {b i} | \)
\(|z| = e ^ a | e ^ {bi} | = e ^ a | cos b + i sen b | \)
\(|z| = e ^ a \sqrt {cos^2 b + i sen^2 b } = e ^ a \)
\(a = ln | z |\)
Por otro lado, dada la forma exponencial \(z = |z| e ^ {i \theta}\), obtenemos la siguiente expresión para calcular b:
\(z = e ^ {a + bi} = |z| e ^ {i \theta}\)
\(e ^ a e ^ {bi} = |z| e ^ {i \theta} \rightarrow e^a = |z|\)
\(e ^ bi = e ^ {i \theta}\)
\(b = \theta + 2 k \pi\)
w tendrá la forma \(w = ln |z| + i \theta\) con \(\theta \in Arg(z)\). Por eso para cada argumento tendremos un logaritmo diferente. Por lo tanto, definimos el logaritmo como:
\(log _\alpha (z) = ln |z| + i Arg_\alpha(z)\)
Ejercicio: Calcula \(log_{2 \pi \over 3} (-2 -2i)\)
Solución: para ello primero calcularemos el argumento principal \(Arg_{2 \pi \over 3}(-2 -2i)\):
\(Arg(-2 -2i) = \{{5 \pi \over 4} + 2 k \pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
\(Arg_{2 \pi \over 3} \in \space ]{2 \pi \over 3} - \pi , {2 \pi \over 3} + \pi [ \ = \ ] {-\pi \over 3}, {5 \pi \over 3} [\)
\(Arg_{2 \pi \over 3}(-2 -2i) = {5 \pi \over 4} \rightarrow k = 0\)
Por lo tanto, siendo \(|z| = \sqrt {2^2 + 2^2} = \sqrt 8\), el logaritmo será:
\(log_{2 \pi \over 3} (-2 -2i) = ln \sqrt 8 + {5 \pi \over 4} i\)
Ejercicio: Calcula \(log_{3 \pi \over 4} (-1 -{i \over 3})\)
Potencias de exponente entero
La fórmula de Moivré afirma que:
\(z ^ m = |z| ^ m \cdot (cos (n \theta) + i sen (n \theta))\)