History: Ecuaciones Diferenciales Lineales

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Son aquellas con soluciones que se pueden obtener a partir de una combinación lineal de otras soluciones.

Funciones holomorfas

Primero definamos un conjunto abierto como una colección de elementos tal que todos ellos están rodeados por elementos que también pertenecen al conjunto.

Un ejemplo sería el intervalo abierto (0,1) con sus límites no incluidos. Para cualquier punto de de este intervalo siempre habrá otro más cercano a las fronteras del mismo. Por ejemplo para el punto 0.9 => 0.95 está entre 0.9 y 1, para 0.99 => 0.995 está más cercano, etc.

Una función holomorfa en @@\Omega@@ es aquella función que es derivable en cada punto del abierto @@\Omega@@ del plano complejo. La derivada para los puntos @@z_0 \forall z \in \Omega@@ es:

$$\lim_{\begin{matrix} {z \rightarrow z_0} \\ ^{z != z_0}\end{matrix}} {{f (z) - f(z_0)} \over {z-z_0}} = f' (z_0)$$

Series de potencias

Definimos una serie de potencias en el plano complejo para @@a_n, z, z_0 \in \mathbb{C}@@ alrededor del punto @@z_0@@ como:

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^{n}$$

Transformada de Laplace

Es una transformada integral que se puede usar para resolver cierto tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias. Se puede aplicar a funciones que son derivables, las cuales se definen como:

Toda función derivable cumple las siguientes propiedades:

Para la función @@f(t) \forall t > 0@@ se define como:

$$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$$