History: Números complejos

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Ap­rendamos qué son los números com­plejos y cómo re­solv­er op­eraciones y func­iones con los mis­mos.

Los números com­plejos son un con­jun­to de números que ex­tien­de a los números naturales. Son una her­ramien­ta de álgeb­ra que se usa com­ún­mente en las in­genierías, física y matemáticas tanto puras como ap­licadas.

Un número en­tero @@z@@ se re­presen­ta como @@z = a + bi@@, donde @@a@@ es la parte real y @@b@@ es la parte im­aginaria. La @@i@@, a parte de re­presen­tar el eje de la parte im­aginaria, es el número @@i = \sqrt {-1}@@.

También se puede ex­presar como: @@z = a + bi =@@ @@\vert z \vert \cdot (cos \theta + i \cdot sen \theta) =@@ @@\vert z \vert_\theta@@, siendo @@\theta@@ el ángulo en el plano complejo.

Op­eraciones

Sup­onien­do dos números com­plejos, @@z@@ y @@w@@ se pued­en de­finir las siguien­tes op­eraciones.

Suma

Para la suma, simplemen­te sumamos las par­tes rea­les por un lado y las im­aginarias por otro:

$$z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$

Pro­duc­to

Hacemos la com­binación de sus par­tes y después lo simplificamos, ya que @@i^2 = -1@@:

$$z \cdot w = (a + bi) (c + di)$$

$$=ac + adi + bci + bdi^2$$

$$=(ac - bd) + (ad + bc)i$$

Di­visión

Multi­plicamos el con­jugado @@\bar z = c - di@@ tanto en el numerador como en el de­nominador:

$${z \over w} = {a + bi \over c + di} = {{(a + bi) (c - di)} \over { (c + di) (c - di) }} = {(ac + bd) + (bc - ad)i \over c^ 2 + d^2}$$

In­ver­so

De forma similar a la di­visión, ob­tenemos el in­ver­so:

$${1 \over z} = {1 \over a + bi} = { (a - bi) \over { (a + bi) (a - bi) }} = {(a - bi) \over a^ 2 + b^2}$$

Ar­gumen­tos

El ar­gumen­to se de­fine como el ángulo de un número com­plejo re­spec­to al eje real y se escrib­e de la siguien­te forma, ya que el ar­gumen­to se re­pite cada @@2kn\pi@@ veces:

$$Arg ( z ) = { \Omega + 2 k \pi }$$

El ar­gumen­to prin­cip­al es aquel que in­cluye a @@z@@ de­ntro de @@]\alpha-\pi, \alpha+\pi]@@.

Ejemplo: Cal­cula el ar­gumen­to prin­cip­al @@Arg_{\pi/4} (-1)@@

Sol­ución:

$$Arg(-1) = \{\pi + 2 k \pi, k \in \mathbb{Z}\}$$

$$Arg_{\pi/4} \in \space ]{\pi \over 4} - \pi , {\pi \over 4} + \pi [ \ = \ ] {-3 \pi \over 4}, {5 \pi \over 4} [$$

$$Arg_{\pi/4} (-1) = \pi$$

Ejemplo: Cal­cula el ar­gumen­to prin­cip­al @@Arg_{\pi} (-1-i)@@

Sol­ución:

$$Arg(-1-i) = \{ {-3 \pi \over 4} + 2 k \pi, k \in \mathbb{Z}\}$$

$$Arg_{\pi} \in \space ]\pi - \pi , \pi + \pi [ \ = \ ] 0, 2 \pi [$$

$$Arg_{\pi} (-1-i) = {5 \pi \over 4}$$

Logarit­mos

El teorema de Euler ap­licado a un número com­plejo es:

$$e^{i \theta} = cos \theta + i sen \theta$$

Dada la otra forma de ex­presar números com­plejos, @@z = \vert z \vert e^{i \theta}@@, ob­tenemos la siguien­te de­finición:

Sien­do z un número com­plejo, w es un logarit­mo de z si @@e^w = z@@.

Sup­onemos que @@w \in \mathbb{C} \rightarrow w = a + bi \rightarrow e ^ {a + bi} = z@@

Como son dos numeros complejos iguales, sus módulos también lo son:

$$\vert z \vert = \vert e ^ {a + bi} \vert = \vert e ^ a e ^ {b i} \vert $$

$$= e ^ a \vert cos b + i sen b \vert= e ^ a \vert e ^ {bi} \vert$$

$$= e ^ a \sqrt {cos^2 b + i sen^2 b } \vert = e ^ a = \vert z \vert$$