History: Números complejos

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Ap­rendamos qué son los números com­plejos y cómo re­solv­er op­eraciones y func­iones con los mis­mos.

Los números com­plejos son un con­jun­to de números que ex­tien­de a los números naturales. Son una her­ramien­ta de álgeb­ra que se usa com­ún­mente en las in­genierías, física y matemáticas tanto puras como ap­licadas.

Un número en­tero @@z@@ se re­presen­ta como @@z = a + bi@@, donde @@a@@ es la parte real y @@b@@ es la parte im­aginaria. La @@i@@, a parte de representar el eje de la parte imaginaria, es el número @@i = \sqrt {-1}@@.

Op­eraciones

Sup­onien­do dos números com­plejos, @@z@@ y @@w@@ se pued­en de­finir las siguien­tes op­eraciones.

Suma

Para la suma, simplemen­te sumamos las par­tes rea­les por un lado y las im­aginarias por otro:

$$z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$

Pro­duc­to

Hacemos la com­binación de sus par­tes y después lo simplificamos, ya que @@i^2 = -1@@:

$$z \cdot w = (a + bi) (c + di)$$ $$=ac + adi + bci + bdi^2$$ $$=(ac - bd) + (ad + bc)i$$

División

Multi­plicamos el con­jugado @@\bar z = c - di@@ tanto en el numerador como en el de­nominador:

$${z \over w} = {a + bi \over c + di} = {{(a + bi) (c - di)} \over { (c + di) (c - di) }} = {(ac + bd) + (bc - ad)i \over c^ 2 + d^2}$$

Inverso

De forma similar a la división, obtenemos el inverso:

$${1 \over z} = {1 \over a + bi} = { (a - bi) \over { (a + bi) (a - bi) }} = {(a - bi) \over a^ 2 + b^2}$$