History: Ecuaciones Diferenciales Lineales

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Son aquellas con soluciones que se pueden obtener a partir de una combinación lineal de otras soluciones.

Funciones holomorfas

Primero definamos lo que es un conjunto abierto: un conjunto abierto es una colección de elementos tal que todos ellos están rodeados por elementos que también pertenecen al conjunto.

El típico ejemplo sería el intervalo abierto (0,1) con sus límites no incluidos. Para cualquier punto de dentro de las fronteras siempre habrá otro más cercano a las mismas. Por ejemplo para el punto 0.9 => 0.95 está entre 0.9 y 1, para 0.99 => 0.995 está más cercano, etc.

Si una función es derivable en cada punto de un abierto @@\omega@@ del plano complejo, esta es una función holomorfa en @@\omega@@. La derivada para los puntos @@z_0 \forall z \in \omega@@ es:

$$\lim_{\begin{matrix} {z \rightarrow z_0} \\ ^{z != z_0}\end{matrix}} {{f (z) - f(z_0)} \over {z-z_0}} = f' (z_0)$$

Transformada de Laplace

Es una transformada integral que se puede usar para resolver cierto tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias. Se puede aplicar a funciones que son derivables, las cuales se definen como:

Toda función derivable cumple las siguientes propiedades:

Para la función @@f(t) \forall t > 0@@ se define como:

$$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$$