Ecuaciones Diferenciales Lineales

Son aquellas con soluciones que se pueden obtener a partir de una combinación lineal de otras soluciones.

Una ecuación diferencial es aquella con la forma:

$$F(y(x), y'(x), ... , y^n (x)) = b(x)$$

Siendo n el orden de la ecuación diferencial y siendo @@y(x)@@ la función incógnita. Además, si @@b(x) = [email protected]@ será una EDO homogénea y si no una EDO no homogénea.

Funciones holomorfas

Primero definamos un conjunto abierto como una colección de elementos tal que todos ellos están rodeados por elementos que también pertenecen al conjunto.

Un ejemplo sería el intervalo abierto (0,1) con sus límites no incluidos. Para cualquier punto de de este intervalo siempre habrá otro más cercano a las fronteras del mismo. Por ejemplo para el punto 0.9 => 0.95 está entre 0.9 y 1, para 0.99 => 0.995 está más cercano, etc.

Una función holomorfa en @@\[email protected]@ es aquella función que es derivable en cada punto del abierto @@\[email protected]@ del plano complejo. La derivada para los puntos @@z_0 \forall z \in \[email protected]@ es:

$$\lim_{\begin{matrix} {z \rightarrow z_0} \\ ^{z != z_0}\end{matrix}} {{f (z) - f(z_0)} \over {z-z_0}} = f' (z_0)$$

Series de potencias

Definimos una serie de potencias en el plano complejo para @@a_n, z, z_0 \in \mathbb{C}@@ alrededor del punto @@[email protected]@ como:

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^{n}$$

Transformada de Laplace

Es una transformada integral que se puede usar para resolver cierto tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias. Se puede aplicar a funciones que son derivables, las cuales se definen como:

Toda función derivable cumple las siguientes propiedades:

Para la función @@f(t) \forall t > [email protected]@ se define como:

$$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$$

Coeficientes constantes

También llamados Problema de Valores Iniciales (PVI). Una ecuación diferencial lineal de orden n tiene la forma:

$$y^n + a_1(x)y^{(n-1)} + ... + a_{(n-1)}(x)y' + a_n(x) y = b(x)$$

Para cualquier @@x \in [email protected]@, teniendo el intervalo real @@[email protected]@ valores en @@\mathbb{R}@@ o @@\mathbb{C}@@. Si @@b(x) = [email protected]@ se trata de una ecuación homogénea, y en caso contrario será no homogénea.

Este problema consiste en encontrar la única solución existente que satisface lo siguiente:

$$y(x_0) = c_1, y' (x_0) = c_2, ... , y^{(n-1)} (x_0) = c_n$$

El Wronskiano del conjunto de funciones lo definimos como el determinante de la matriz:

$$W(y_1, y_2, \ldots, y_n) =\begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) & \cdots & y_n(x) \\y_1'(x) & y_2'(x) & \cdots & y_n' (x)\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\y_1^{(n-1)}(x)& y_2^{(n-1)}(x) & \cdots & y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}$$

Este se usa para determinar si las ecuaciones son linealmente independiente en un intervalo dado. Las ecuaciones @@\{y_1(x), y_2(x), ... , y_n(x)\}@@ formarán un sistema fundamental de soluciones si su Wronskiano resulta diferente de 0 en algún punto del intervalo dado.

$$W(y_1, y_2, \ldots, y_n) \neq 0$$

Tengamos una Ecuación Diferencial Ordinaria lineal homogénea de coeficientes constantes:

$$y^n + a_1(x)y^{(n-1)} + ... + a_{(n-1)}(x)y' + a_n(x) y = 0$$

Para resolverla primero obtendremos la ecuación característica de esta EDO:

$$\lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + a_{n-2} \lambda^{n-2} + ... + a_1 \lambda + a_0 = 0$$

Ahora, para cada raíz real r de @@P(\lambda) = [email protected]@ de multiplicidad n, el conjunto de estas funciones forman un SFS (Sistema Fundamental de Soluciones) de la EDO:

$$\{ e ^{r x}, x e ^ {r x}, x ^ 2 e ^ {r x}, ... , x ^{n-1} e ^ rx \}$$

Ejercicio: resolver @@y'' + y = [email protected]@

Obtendremos su ecuación característica y raices:

$$\lambda ^ 2 + 1 = 0 \rightarrow \lambda = 0 \pm i$$

Por lo tanto, el SFS de esta ecuación es:

$$\{ e ^ {(0 + i) x}, e ^ {(0 - i)} x \} = \{ e ^ {ix}, e ^ {-ix}\} = \{ cos x, sen x \}$$

Y la solución será la combinación lineal de las mismas:

$$y(x) = A \cdot cos (x) + B \cdot sen (x)$$

Ejercicio: resolver la ecuación @@y ^ n - y ^ {(n-2)} = [email protected]@:

Primero hallamos la ecuación característica y la resolvemos:

$$\lambda ^ n - \lambda ^ {(n-2)} = 0 \rightarrow \lambda ^ {(n-2)} (\lambda ^ 2 - 1) = 0$$

$$\lambda = 0 (M: n), \lambda = 1 (M: 1), \lambda = -1 (M: 1)$$

Donde M: representa la multiplicidad. Por lo tanto, el S.F.S. será:

$$\{ e ^ x, e ^ {-x}, e ^ {0x}, ... , x ^ {(n-2)-1} e ^ {0x} \} = $$

$$\{ e ^ x, e ^ {-x}, 1, x, x^2, ... , x ^ {n - 3} \}$$

La solución general que podemos obtener será:

$$y(x) = A_0 e ^ x + A_1 e ^ x + A_2 + A_3 x + ... + A_{n-1} x ^ {n - 3}$$

Problema de Cauchy

Teorema: un problema de Cauchy