Números complejos

Ap­rendamos qué son los números com­plejos y cómo re­solv­er op­eraciones y func­iones con los mis­mos.

Los números com­plejos son un con­jun­to de números que ex­tien­de a los números naturales. Son una her­ramien­ta de álgeb­ra que se usa com­ún­mente en las in­genierías, física y matemáticas tanto puras como ap­licadas.

Un número en­tero @@[email protected]@ se re­presen­ta como @@z = a + [email protected]@, donde @@[email protected]@ es la parte real y @@[email protected]@ es la parte im­aginaria. La @@[email protected]@, a parte de re­presen­tar el eje de la parte im­aginaria, es el número @@i = \sqrt {-1}@@.

También se puede ex­presar como: @@z = a + bi [email protected]@ @@\vert z \vert \cdot (cos \theta + i \cdot sen \theta) [email protected]@ @@\vert z \vert_\[email protected]@, siendo @@\[email protected]@ el ángulo en el plano complejo.

Op­eraciones

Sup­onien­do dos números com­plejos, @@[email protected]@ y @@[email protected]@ se pued­en de­finir las siguien­tes op­eraciones.

Suma

Para la suma, simplemen­te sumamos las par­tes rea­les por un lado y las im­aginarias por otro:

$$z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$

Pro­duc­to

Hacemos la com­binación de sus par­tes y después lo simplificamos, ya que @@i^2 = [email protected]@:

$$z \cdot w = (a + bi) (c + di)$$

$$=ac + adi + bci + bdi^2$$

$$=(ac - bd) + (ad + bc)i$$

Di­visión

Multi­plicamos el con­jugado @@\bar z = c - [email protected]@ tanto en el numerador como en el de­nominador:

$${z \over w} = {a + bi \over c + di} = {{(a + bi) (c - di)} \over { (c + di) (c - di) }} = {(ac + bd) + (bc - ad)i \over c^ 2 + d^2}$$

In­ver­so

De forma similar a la di­visión, ob­tenemos el in­ver­so:

$${1 \over z} = {1 \over a + bi} = { (a - bi) \over { (a + bi) (a - bi) }} = {(a - bi) \over a^ 2 + b^2}$$

Ar­gumen­tos

El ar­gumen­to se de­fine como el ángulo de un número com­plejo re­spec­to al eje real en el plano complejo y se escrib­e de la siguien­te forma, ya que el ar­gumen­to se re­pite cada @@2k\[email protected]@ veces:

$$Arg_\alpha ( z ) = { \Omega + 2 k \pi }$$

El ar­gumen­to prin­cip­al es aquel que in­cluye a @@[email protected]@ de­ntro de @@]\alpha-\pi, \alpha+\pi]@@.

Ejemplo: Cal­cula el ar­gumen­to prin­cip­al @@Arg_{\pi/4} (-1)@@

Sol­ución:

$$Arg(-1) = \{\pi + 2 k \pi, k \in \mathbb{Z}\}$$

$$Arg_{\pi/4} \in \space ]{\pi \over 4} - \pi , {\pi \over 4} + \pi [ \ = \ ] {-3 \pi \over 4}, {5 \pi \over 4} [$$

$$Arg_{\pi/4} (-1) = \pi \rightarrow k = 0$$

Ejemplo: Cal­cula el ar­gumen­to prin­cip­al @@Arg_{\pi} (-1-i)@@

Sol­ución:

$$Arg(-1-i) = \{ {-3 \pi \over 4} + 2 k \pi, k \in \mathbb{Z}\}$$

$$Arg_{\pi} \in \space ]\pi - \pi , \pi + \pi [ \ = \ ] 0, 2 \pi [$$

$$Arg_{\pi} (-1-i) = {5 \pi \over 4} \rightarrow k = 1$$

Logarit­mos

El teorema de Euler ap­licado a un número com­plejo es:

$$e^{i \theta} = cos \theta + i sen \theta$$

Dado un número complejo z y suponiendo otro número complejo w de la forma @@w = a + [email protected]@, decimos que w es un logaritmo de z si cumple: @@e^w = z\rightarrow e ^ {a + bi} = [email protected]@.

Como son dos numeros complejos iguales, sus módulos también lo son:

$$| z | = | e ^ {a + bi} | = | e ^ a e ^ {b i} | $$

$$|z| = e ^ a | e ^ {bi} | = e ^ a | cos b + i sen b | $$

$$|z| = e ^ a \sqrt {cos^2 b + i sen^2 b } = e ^ a $$

$$a = ln | z |$$

Por otro lado, dada la forma exponencial @@z = |z| e ^ {i \theta}@@, obtenemos la siguiente expresión para calcular b:

$$z = e ^ {a + bi} = |z| e ^ {i \theta}$$

$$e ^ a e ^ {bi} = |z| e ^ {i \theta} \rightarrow e^a = |z|$$

$$e ^ bi = e ^ {i \theta}$$

$$b = \theta + 2 k \pi$$

w tendrá la forma @@w = ln |z| + i \[email protected]@ con @@\theta \in Arg(z)@@. Por eso para cada argumento tendremos un logaritmo diferente. Por lo tanto, definimos el logaritmo como:

$$log _\alpha (z) = ln |z| + i Arg_\alpha(z)$$

Ejercicio: Calcula @@log_{2 \pi \over 3} (-2 -2i)@@

Solución: para ello primero calcularemos el argumento principal @@Arg_{2 \pi \over 3}(-2 -2i)@@:

$$Arg(-2 -2i) = \{{5 \pi \over 4} + 2 k \pi, k \in \mathbb{Z}\}$$

$$Arg_{2 \pi \over 3} \in \space ]{2 \pi \over 3} - \pi , {2 \pi \over 3} + \pi [ \ = \ ] {-\pi \over 3}, {5 \pi \over 3} [$$

$$Arg_{2 \pi \over 3}(-2 -2i) = {5 \pi \over 4} \rightarrow k = 0$$

Por lo tanto, siendo @@|z| = \sqrt {2^2 + 2^2} = \sqrt [email protected]@, el logaritmo será:

$$log_{2 \pi \over 3} (-2 -2i) = ln \sqrt 8 + {5 \pi \over 4} i$$

Ejercicio: Calcula @@log_{3 \pi \over 4} (-1 -{i \over 3})@@

Potencias de exponente entero

La fórmula de Moivré afirma que:

$$z ^ m = |z| ^ m \cdot (cos (n \theta) + i sen (n \theta))$$